Question

設函數(shù)有兩個極值點,且.
(1)求實數(shù)的取值范圍；
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(3)若對任意的,都有成立,求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

(1)
(2) ①當時,,即在區(qū)間上單調(diào)遞增；
②當時,,即在區(qū)間上單調(diào)遞減；
③當時,,即在區(qū)間上單調(diào)遞增
(3)

試題分析：解:(1)由可得.
令,則其對稱軸為,故由題意可知是方程的兩個均大于的不相等的實數(shù)根,其充要條件為,解得. 5分
(2)由(1)可知,其中,故
①當時,,即在區(qū)間上單調(diào)遞增；
②當時,,即在區(qū)間上單調(diào)遞減；
③當時,,即在區(qū)間上單調(diào)遞增. 9分
(3)由(2)可知在區(qū)間上的最小值為.
又由于,因此.又由可得,從而.
設,其中,
則.
由知:,,故,故在上單調(diào)遞增.
所以,.
所以,實數(shù)的取值范圍為. 14分
(事實上,當時,,此時.即,“”是其充要條件.)
點評：解決的關鍵是對于導數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關系的判定，以及運用導數(shù)的知識來求解最值，屬于中檔題。