已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓.它的中心在原點(diǎn).左焦點(diǎn)為,且過,設(shè)點(diǎn).(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,(2)若是橢圓上的動(dòng)點(diǎn).求線段中點(diǎn)的軌跡方程, 題目和參考答案——青夏教育精英家教網(wǎng)—

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（本題滿分12分）已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為,且過,設(shè)點(diǎn).
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程；

解：(1)由已知得橢圓的長半軸a=2,
半焦距c=,則短半軸b=1.
又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上, ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為…………… 6分
(2)設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M(x,y) ,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x₀,y₀)，
由，得
由,點(diǎn)P在橢圓上,得,
∴線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是…………… 12分

解析

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已知直線l: y="x-2" 與拋物線y²=2x相交于兩點(diǎn)A、B，
（1）求證：OA⊥OB
（2）求線段AB的長度

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已知拋物線C的方程C：y² ="2" p x（p＞0）過點(diǎn)A（1，－2）.
（I）求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；
（II）是否存在平行于OA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點(diǎn)，且直線
OA與l的距離等于？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由

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求過點(diǎn)，且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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已知橢圓的長軸長為2a，焦點(diǎn)是F₁(－，0)、F₂(，0)，點(diǎn)F₁到直線x＝－的距離為，過點(diǎn)F₂且傾斜角為銳角的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，使得|F₂B|＝3|F₂A|.
(1)求橢圓的方程；
(2)求直線l的方程．

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(12分) 在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)，的距離之和是，點(diǎn)的軌跡是，直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)和．⑴求軌跡的方程；⑵是否存在常數(shù)，？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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已知一隧道的截面是一個(gè)半橢圓面（如圖所示），要保證車輛正常通行，車頂離隧道頂部至少要有米的距離，現(xiàn)有一貨車，車寬米，車高米．
（１）若此隧道為單向通行，經(jīng)測(cè)量隧道的跨度是米，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)隧道才能保證此貨車正常通行？
（２）圓可以看作是長軸短軸相等的特殊橢圓，類比圓面積公式，
請(qǐng)你推測(cè)橢圓的面積公式．并問，當(dāng)隧道為雙向通行（車道間的距離忽略不記）時(shí)，要使此貨車安全通過，應(yīng)如何設(shè)計(jì)隧道，才會(huì)使同等隧道長度下開鑿的土方量最小？