Question

已知函數(shù)
（1）當時，求函數(shù)在的值域；
（2）若關于的方程有解，求的取值范圍.

Answer 1

(1)值域為 ；（2）的取值范圍為.

試題分析：（1）當時，是個指數(shù)形式的函數(shù)，求其值域為可以使用換元法求解，令，將轉化為關于的二次函數(shù)形式，，根據(jù)二次函數(shù)在給定區(qū)間上求解即可.易錯點：要注意定義域的變化，其中的取值范圍為在的值域.
（2）問有解，求得取值范圍，可使用分離參數(shù)法，，保證函數(shù)和函數(shù)有交點即可，既是求函數(shù)的值域，求值域的方法是先換元后配方，但要注意定義域的變化，求出函數(shù)的值域為，即是在內(nèi)，則.
試題解析：
（1）當時，，令，則，因而，故值域為 .
（2）方法一:由得；由題意可知與有交點即可.
令，得則得，所以即的取值范圍為.
方法二：方程有解,令，則原題意等價于在有解，
記,當時，得，不成立；當時，根據(jù)根的分布的.
方法三：方程有解,令，則原題意等價于在有解，即：的值域就是的取值范圍，所以.