Question

一家面包房根據以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示．將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設每天的銷售量相互獨立．
（Ⅰ）求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率；
（Ⅱ）用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數，求隨機變量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）．

Answer 1

考點：離散型隨機變量及其分布列,離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）由頻率分布直方圖求出事件A₁，A₂的概率，利用相互獨立事件的概率公式求出事件“在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個”的概率；
（Ⅱ）寫出X可取得值，利用相互獨立事件的概率公式求出X取每一個值的概率；列出分布列．根據服從二項分布的隨機變量的期望與方差公式求出期望E（X）及方差D（X）．

解答： 解：（Ⅰ）設A₁表示事件“日銷售量不低于100個”，A₂表示事件“日銷售量低于50個”
B表示事件“在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個”，
因此P（A₁）=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6，
P（A₂）=0.003×50=0.15，
P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108，
（Ⅱ）X可能取的值為0，1，2，3，相應的概率為：
P(X=0)=

C

0 3

(1-0.6)3=0.064
P(X=1)=

C

1 3

0.6(1-0.6)2=0.288，
P(X=2)=

C

2 3

0．62(1-0.6)=0.432，
P(X=3)=

C

3 3

0．63=0.216，
隨機變量X的分布列為

X	0	1	2	3
P	0.064	0.288	0.432	0.216

因為X～B（3，0.6），
所以期望E（X）=3×0.6=1.8，
方差D（X）=3×0.6×（1-0.6）=0.72．

點評：在n次獨立重復試驗中，事件A發(fā)生的次數服從二項分布、服從二項分布的隨機變量的期望與方差公式，考查分布列的求法．