Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期為π，圖象的一個對稱中心為（ ，0），將函數(shù)f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向右平移個 單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象．
（1）求函數(shù)f（x）與g（x）的解析式
（2）是否存在x0∈（ ），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某種順序成等差數(shù)列？若存在，請確定x0的個數(shù)，若不存在，說明理由；
（3）求實(shí)數(shù)a與正整數(shù)n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）內(nèi)恰有2013個零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期為π，

∴ω= =2，

又曲線y=f（x）的一個對稱中心為 ，φ∈（0，π），

故f（ ）=sin（2× +φ）=0，得φ= ，所以f（x）=cos2x．

將函數(shù)f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）后可得y=cosx的圖象，

再將y=cosx的圖象向右平移 個單位長度后得到函數(shù)g（x）=cos（x﹣ ）的圖象，

∴g（x）=sinx．

（2）解：當(dāng)x∈（ ， ）時， ＜sinx＜ ，0＜cosx＜ ，

∴sinx＞cos2x＞sinxcos2x，

問題轉(zhuǎn)化為方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（ ， ）內(nèi)是否有解．

設(shè)G（x）=sinx+sinxcos2x﹣2cos2x，x∈（ ， ），

則G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2﹣sinx），

∵x∈（ ， ），

∴G′（x）＞0，G（x）在（ ， ）內(nèi)單調(diào)遞增，

又G（ ）=﹣ ＜0，G（ ）= ＞0，且G（x）的圖象連續(xù)不斷，故可知函數(shù)G（x）在（ ， ）內(nèi)存在唯一零點(diǎn)x0，即存在唯一零點(diǎn)x0∈（ ， ）滿足題意

（3）解：依題意，F(xiàn)（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，

當(dāng)sinx=0，即x=kπ（k∈Z）時，cos2x=1，從而x=kπ（k∈Z）不是方程F（x）=0的解，

∴方程F（x）=0等價于關(guān)于x的方程a=﹣ ，x≠kπ（k∈Z）．

現(xiàn)研究x∈（0，π）∪（π，2π）時方程a=﹣ 的解的情況．

令h（x）=﹣ ，x∈（0，π）∪（π，2π），

則問題轉(zhuǎn)化為研究直線y=a與曲線y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交點(diǎn)情況．

h′（x）= ，令h′（x）=0，得x= 或x= ，

當(dāng)x變換時，h′（x），h（x）的變化情況如下表：

x	（0， ）		（ ，π）	（π， ）		（ ，2π）
h′（x）	+	0	﹣	﹣	0	+
h（x）	↗	1	↘	↘	﹣1	↗

當(dāng)x＞0且x趨近于0時，h（x）趨向于﹣∞，

當(dāng)x＜π且x趨近于π時，h（x）趨向于﹣∞，

當(dāng)x＞π且x趨近于π時，h（x）趨向于+∞，

當(dāng)x＜2π且x趨近于2π時，h（x）趨向于+∞，

故當(dāng)a＞1時，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，π）內(nèi)無交點(diǎn)，在（π，2π）內(nèi)有2個交點(diǎn)；

當(dāng)a＜﹣1時，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，π）內(nèi)有2個交點(diǎn)，在（π，2π）內(nèi)無交點(diǎn)；

當(dāng)﹣1＜a＜1時，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，π）內(nèi)有2個交點(diǎn)，在（π，2π）內(nèi)有2個交點(diǎn)；

由函數(shù)h（x）的周期性，可知當(dāng)a≠±1時，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，nπ）內(nèi)總有偶數(shù)個交點(diǎn)，從而不存在正整數(shù)n，使得直線y=a與曲線y=h（x）在（0，nπ）內(nèi)恰有2013個零點(diǎn)；

又當(dāng)a=1或a=﹣1時，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，π）∪（π，2π）內(nèi)有3個交點(diǎn)，由周期性，2013=3×671，

∴依題意得n=671×2=1342．

綜上，當(dāng)a=1，n=1342，或a=﹣1，n=1342時，函數(shù)F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）內(nèi)恰有2013個零點(diǎn)．

【解析】【（1）依題意，可求得ω=2，φ= ，利用三角函數(shù)的圖象變換可求得g（x）=sinx；（2）依題意，當(dāng)x∈（ ， ）時， ＜sinx＜ ，0＜cosx＜ sinx＞cos2x＞sinxcos2x，問題轉(zhuǎn)化為方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（ ， ）內(nèi)是否有解．通過G′（x）＞0，可知G（x）在（ ， ）內(nèi)單調(diào)遞增，而G（ ）＜0，G（ ）＞0，從而可得答案；（3）依題意，F(xiàn)（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，方程F（x）=0等價于關(guān)于x的方程a=﹣ ，x≠kπ（k∈Z）．問題轉(zhuǎn)化為研究直線y=a與曲線y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交點(diǎn)情況．通過其導(dǎo)數(shù)，列表分析即可求得答案．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的基本求導(dǎo)法則和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式），需要了解若兩個函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo)；通項(xiàng)公式：或才能得出正確答案．