Question

(本小題滿(mǎn)分12分)如圖, 正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為6, 動(dòng)點(diǎn)M在棱A₁B₁上. (1) 當(dāng)M為A₁B₁的中點(diǎn)時(shí), 求CM與平面DC₁所成角的正弦值;

(2) 當(dāng)A₁M＝A₁B₁時(shí), 求點(diǎn)C到平面D₁DM的距離.

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)  

(1)  在平面A₁C₁內(nèi)過(guò)點(diǎn)M作MN∥B₁C₁, 交D₁C₁于N,
則MN⊥平面DC₁, 連NC.
則∠MCN為CM與平面DC₁所成角　…………6分
∵M(jìn)N=B₁C₁="6," MC==9
∴sin∠MCN==, 即所求正弦值為.……8分
(2) 連C₁M, 作C₁H⊥D₁M于點(diǎn)H, ∵DD₁⊥平面A₁C₁ ∴D₁D⊥C₁H
∴C₁H⊥平面D₁DM, C₁H為C₁到平面D₁DM的距離
又CC₁∥D₁D，D₁D平面D₁DM，∴CC₁∥面D₁DM，則C到平面D₁DM的距離為C₁H
∵C₁H·D₁M=S_△="18," 而D₁M==
∴C₁H= ∴C到平面D₁DM的距離為…………………………………………12分