Question

【題目】如圖，橢圓的離心率為，頂點(diǎn)為，且．

（1）求橢圓的方程；

（2）是橢圓上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn)，直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，直線(xiàn)交于點(diǎn)．設(shè)的斜率為， 的斜率為，試問(wèn)是否為定值？并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）因?yàn)?/span>，所以，又，所以，即可求解的值，得出橢圓的方程；

（2）由題意可知直線(xiàn)的方程為與橢圓的方程聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，在根據(jù)直線(xiàn)的方程與聯(lián)立，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，即可表示的斜率，得出結(jié)論.

試題解析：（1）因?yàn)?/span>，所以，

由題意及圖可得，

所以

又，所以，所以

所以

所以橢圓的方程為：

（2）證明：由題意可知， ， ，

因?yàn)?/span>的斜率為，所以直線(xiàn)的方程為

由得

其中，所以，所以

則直線(xiàn)的方程為（）

令，則，即

直線(xiàn)的方程為，

由解得，所以

所以的斜率

所以（定值）