Question

【題目】已知函數(shù)， （為自然對數(shù)的底數(shù)）．

（1）討論函數(shù)的單調性；

（2）當時， 恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）求導后，分類討論，利用導數(shù)的正負可得函數(shù)的單調性；

（2）當時， 恒成立轉化為恒成立，構造函數(shù)求出右邊函數(shù)的最大值即可.

試題解析：

解：（1）

①若， ， 在上單調遞增；

②若，當時， ， 單調遞減；

當時， ， 單調遞增

（2）當時， ，即

令，則

令，則

當時， ， 單調遞減；

當時， ， 單調遞增

又， ，所以，當時， ，即，

所以單調遞減；當時， ，即，

所以單調遞增，所以，所以

利用導數(shù)解決不等式恒成立問題的“兩種”常用方法

（1）分離參數(shù)法：將原不等式分離參數(shù)，轉化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題，利用導數(shù)求該函數(shù)的最值，根據(jù)要求得所求范圍.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.

(2)函數(shù)思想法：將不等式轉化為某含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題，利用導數(shù)求該函數(shù)的極值(最值)，然后構建不等式求解.