Question

設(shè)向量a＝(x＋1，y)，b＝(x－1，y)，點(diǎn)P(x，y)為動(dòng)點(diǎn)，已知|a|＋|b|＝4.

（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P的軌跡與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)F(1，0)的直線交點(diǎn)P的軌跡于B、C兩點(diǎn)，試推斷△ABC的面積是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）△ABC的面積存在最大值，其最大值為

解析:

（Ⅰ）由已知，                         （1分）

所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡M是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓.            （3分）

因?yàn)?img width=72 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/114/166914.gif">，則.                                          （4分）

故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡M的方程是.                                       （5分）

（Ⅱ）設(shè)直線BC的方程為，

由.                                  （6分）

設(shè)點(diǎn)，則，.              （7分）

所以

.                      （8分）

由題設(shè)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(－2，0)，則點(diǎn)A到直線BC的距離.           （9分）

所以.

令，則.                               （10分）

設(shè)，則.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上是增函數(shù).                                                                （11分）

所以當(dāng)時(shí)，，從而，所以.              （12分）

故△ABC的面積存在最大值，其最大值為.                                    （13分）