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        1. 設(shè)向量a=(x+1,y),b=(x-1,y),點(diǎn)P(x,y)為動(dòng)點(diǎn),已知|a|+|b|=4.

          (Ⅰ)求點(diǎn)P的軌跡方程;

          (Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P的軌跡與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A,過點(diǎn)F(1,0)的直線交點(diǎn)P的軌跡于B、C兩點(diǎn),試推斷△ABC的面積是否存在最大值?若存在,求其最大值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

          (Ⅰ)(Ⅱ)△ABC的面積存在最大值,其最大值為


          解析:

          (Ⅰ)由已知,                         (1分)

          所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡M是以點(diǎn)為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓.            (3分)

          因?yàn)?img width=72 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/114/166914.gif">,則.                                          (4分)

          故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡M的方程是.                                       (5分)

          (Ⅱ)設(shè)直線BC的方程為,

          .                                  (6分)

          設(shè)點(diǎn),則,.              (7分)

          所以

          .                      (8分)

          由題設(shè),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-2,0),則點(diǎn)A到直線BC的距離.           (9分)

          所以.

          ,則.                               (10分)

          設(shè),則.因?yàn)楫?dāng)時(shí),,則函數(shù)上是增函數(shù).                                                                (11分)

          所以當(dāng)時(shí),,從而,所以.              (12分)

          故△ABC的面積存在最大值,其最大值為.                                    (13分)

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          (1)求證:an=n+1;

          (2)求bn的表達(dá)式;

          (3)cn=-an·bn,試問數(shù)列{cn}中,是否存在正整數(shù)k,使得對(duì)于任意的正整數(shù)n,都有cn≤ck成立?證明你的結(jié)論.

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