Question

【題目】已知函數(shù) .

（1）當(dāng)時(shí)，

①求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

②求函數(shù)在區(qū)間上的值域.

（2）對(duì)于任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）①②；（2）.

【解析】試題分析：

(1)由題意可得函數(shù)的解析式，

①利用導(dǎo)數(shù)研究切線方程可得曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

②利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>.

(2)原問(wèn)題等價(jià)于.構(gòu)造函數(shù)，分類(lèi)討論可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.

試題解析：

（1）當(dāng)時(shí)， ，

①，由， ，

則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，整理為： .

②令，有，

當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)，得，解得： ，

故當(dāng)時(shí)， ，可得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

， ，

故函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>.

（2）由，有，故可化為.

整理得： .

即函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，

，

，故當(dāng)時(shí)， ，即，

①當(dāng)時(shí)， ；

②當(dāng)時(shí)，整理為： ，

令，有 ，

當(dāng)， ， ，有，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故，

故有： ，可得.