Question

【題目】已知三邊是連續(xù)的三個(gè)自然數(shù)．

（Ⅰ）求最小邊的取值范圍；

（Ⅱ）是否存在這樣的，使得其最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的兩倍？若存在，試求出這個(gè)三角形的三邊；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（II）存在，且三邊分別為．

【解析】（Ⅰ）設(shè)出三角形的三邊，根據(jù)三邊關(guān)系可得所求．（Ⅱ）假設(shè)存在滿足條件的三角形，且最大角為，最小角為，則．然后根據(jù)正弦定理和余弦定理分別得到的值，建立方程后可得結(jié)論．

詳解：（Ⅰ）設(shè)角所對(duì)的邊分別是，且，

由三角形的三邊關(guān)系得，

解得．

所以最小邊的取值范圍是．

（II）由題意得三個(gè)角中最大角為，最小角為，

假設(shè)存在，使得其最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的兩倍，即．

由正弦定理得，

即，

∴．

又由余弦定理得，

∴，

解得．

∴的三邊分別為，

即存在唯一滿足三邊是連續(xù)的三個(gè)自然數(shù)且最大角是最小角的兩倍，且三角形的三邊分別為.

另解: 設(shè)，

三個(gè)角中最大角為，最小角為．

則,

∴，

由余弦定理得

代入上式化簡(jiǎn)得,

∴,

解得．

∴三角形的三邊分別為，

即存在唯一滿足三邊是連續(xù)的三個(gè)自然數(shù)且最大角是最小角的兩倍．