Question

【題目】已知拋物線(xiàn)C的方程為y2=2px（p＞0），點(diǎn)R（1，2）在拋物線(xiàn)C上．
（1）求拋物線(xiàn)C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)Q（1，1）作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)C于不同于R的兩點(diǎn)A，B．若直線(xiàn)AR，BR分別交直線(xiàn)l：y=2x+2于M，N兩點(diǎn)，求線(xiàn)段MN最小時(shí)直線(xiàn)AB的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點(diǎn)R（1，2）在拋物線(xiàn)C：y2=2px（p＞0）上，

∴4=2p，解得p=2，

∴拋物線(xiàn)C的方程為y2=4x

（2）解：設(shè)A（x1，y1），B（x2y2），直線(xiàn)AB的方程為x=m（y﹣1）+1，m≠0，

由 ，消去x，并整理，得：y2﹣4my+4（m﹣1）=0，

∴y1+y2=4m，y1y2=4（m﹣1），

設(shè)直線(xiàn)AR的方程為y=k1（x﹣1）+2，

由 ，解得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM= ，

又k1= = ，

∴xM= =﹣ ，

同理點(diǎn)N的橫坐標(biāo)xN=﹣ ，

|y2﹣y1|= =4 ，

∴|MN|=|xM﹣xN|= |﹣ + |=2 | |，

=8 =2 ，

令m﹣1=t，t≠0，則m=t=1，

∴|MN|=2 ≥ ，

即當(dāng)t=﹣2，m=﹣1時(shí)，|MN|取最小值為 ，

此時(shí)直線(xiàn)AB的方程為x+y﹣2=0

【解析】（1）由點(diǎn)R（1，2）在拋物線(xiàn)C：y2=px（p＞0）上，求出p=2，由此能求出拋物線(xiàn)C的方程．（2）設(shè)A（x1 ， y1），B（x2y2），設(shè)直線(xiàn)AB的方程為x=m（y﹣1）+1，m≠0，設(shè)直線(xiàn)AR的方程為y=k1（x﹣1）+2，由已知條件推導(dǎo)出xM=﹣ ，xN=﹣ ，由此求出|MN|=2 ，再用換元法能求出|MN|的最小值及此時(shí)直線(xiàn)AB的方程．