Question

已知函數，.

（Ⅰ）若與在處相切，試求的表達式；

（Ⅱ）若在上是減函數，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）證明不等式：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）.（Ⅲ）見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求導數，利用與在處相切，可求的表達式；（Ⅱ） 在上是減函數，可得導函數小于等于 在上恒成立，分離參數，利用基本不等式，可求實數的取值范圍；（Ⅲ）當x≥2時，證明 ， 當x＞1時，證明 ，利用疊加法，即可得到結論．

試題解析：解：（Ⅰ）由已知 且 得： 2分

又 3分

（Ⅱ）在上是減函數，

在上恒成立. 5分

即在上恒成立，由，

得 6分

（Ⅲ)由（Ⅰ）可得：當時：

得： 8分

當時： 當時： 當時：

當時：，

上述不等式相加得：

即： ① 9分

由（Ⅱ）可得：當時：在上是減函數

當時： 即

所以 從而得到： 11分

當時： 當時： 當時：

當時：，

上述不等式相加得：

即 ②

綜上：（） 12分

考點：1、不等式的證明；2、利用導數研究函數的單調性；3、利用導數研究曲線上某點切線方程．