Question

（2008•臨沂二模）已知函數(shù)f(x)=

m-2cosx

sinx

，若f（x）在(0，

π

2

)內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

A．（-∞，2]

B．（-∞，2）

C．[2，+∞）

D．（2，+∞）

Answer 1

分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由f（x）在(0，

π

2

)內(nèi)單調(diào)遞增得其導(dǎo)函數(shù)在x∈(0，

π

2

)內(nèi)大于等于0恒成立，分離變量后可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：由f(x)=

m-2cosx

sinx

，得
f′(x)=

(m-2cosx)′sinx-(m-2cosx)(sinx)′

sin2x

=

2sin2x+2cos2x-mcosx

sin2x

=

2-mcosx

sin2x

．
要使f（x）在(0，

π

2

)內(nèi)單調(diào)遞增，則
2-mcosx≥0在x∈(0，

π

2

)內(nèi)恒成立，
即m≤

2

cosx

在x∈(0，

π

2

)內(nèi)恒成立，
因?yàn)樵趚∈(0，

π

2

)內(nèi)

2

cosx

＞2，
所以m≤2．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用分離變量法求函數(shù)的最值，是中檔題．