Question

（本題滿分12分）
函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都有,
（Ⅰ）分別求的值；
（Ⅱ）猜想 的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）。（2）。

試題分析：（Ⅰ），
      --------6分
（Ⅱ）猜想，               ---------8分
下用數(shù)學(xué)歸納法證明之.
（1）當(dāng)n=1時(shí),f(1)=1,猜想成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，猜想成立，即 f(k)=k²
則當(dāng)n=k+1時(shí)， f(k+1)=f(k)+f(1)+2k×1=k²+2k+1=(k+1)²
即當(dāng)n=k+1時(shí)猜想成立。
由（1）、（2）可知，對(duì)于一切n∈N^*猜想均成立。          ---------12分
點(diǎn)評(píng)：本題目主要考查了利用賦值法求解抽象函數(shù)的函數(shù)值，及數(shù)學(xué)歸納法在證明數(shù)學(xué)命題中的應(yīng)用。屬于中檔題。