Question

（本小題滿分14分）已知、是橢圓的兩個焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上,線段與軸的交點(diǎn)滿足；⊙O是以F₁F₂為直徑的圓，一直線l：與⊙O相切，并與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B.
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）當(dāng)且滿足時，求△AOB面積S的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）.

第一問中利用,以及⊙O是以F₁F₂為直徑的圓，可知,得到a,bc的值，得到橢圓的方程
第二問中，利用，直線與圓相切，則可知圓心到直線的距離為1，然后得到
，直線方程與橢圓聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積公式得到結(jié)論。
解：（Ⅰ） 點(diǎn)M是線段的中點(diǎn) OM是的中位線
又        解得
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為                    ………………………6分
（Ⅱ）圓O與直線l相切     即：，由 
消去y：  設(shè)
，
，……………10分

設(shè)，  則關(guān)于在上單調(diào)
遞增，且
故△AOB面積S的取值范圍是 …………………………………………14分