Question

【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.

（2）.

【解析】試題分析：（1）由題.分別討論當(dāng)，，三種情況下的單調(diào)性；

（2）∵，

∴在上的最大值等價(jià)于在上的最大值，

，記為，

∴， 討論的性質(zhì)，可求的最大值.

試題解析：（1）對(duì)求導(dǎo)，得.

①當(dāng)，即時(shí)，

或時(shí)，，單增，

時(shí)，，單減；

②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，在上單增；

③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，

或時(shí)，在，上單增，

時(shí)，，在上單減.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.

（Ⅱ）∵，

∴在上的最大值等價(jià)于在上的最大值，

，記為，

∴，

由（Ⅰ）可知時(shí)，在上單減，，

∴，從而在上單減，

∵，∴在上單增，

∴，

∴的最大值為.