Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的最小值；

（2）若對(duì)任意給定的，在上方程總存在不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：求得，分別研究函數(shù)，討論當(dāng)時(shí)，時(shí)，的情況即可得到實(shí)數(shù)的最小值；求出，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出的值域，方程等價(jià)于，求出的取值范圍，再根據(jù)，即可求得結(jié)果

解析：（1）令，則

①當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)

若在上無(wú)零點(diǎn)，則，即

解得，∴.

②當(dāng)時(shí)，在上，，∴，

∴在上無(wú)零點(diǎn).

由①②得，即實(shí)數(shù)的最小值為

（2）

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；

又∵

∴函數(shù)在的值域?yàn)?/span>.

方程等價(jià)于.

∴

又∵，∴，∴.

綜上所述，的取值范圍是.

點(diǎn)睛:本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題及結(jié)合等式求出參量的范圍，在解答零點(diǎn)問(wèn)題時(shí)需要進(jìn)行分類討論，求得最小值，在由等式求參量范圍時(shí)先求出值域，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，從而求解，轉(zhuǎn)化是本題的關(guān)鍵。