Question

設(shè)a＞0，函數(shù)f（x）=x²+a|lnx-1|．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）若x∈[1，+∞）時(shí)，不等式f（x）≥a恒成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意知當(dāng)0＜x≤e時(shí)，f′(x)=2x-

2

x

=

2x2-2

x

，f（x）在（1，e]內(nèi)單調(diào)遞增．當(dāng)x≥e時(shí)，f′(x)=2x+

2

x

＞0恒成立，故f（x）在[e，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．由此可知f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（2）當(dāng)x≥e時(shí)，f（x）=x²+alnx-a，f′(x)=2x+

a

x

（x≥e），f（x）在[e，+∞）上增函數(shù)．當(dāng)1≤x＜e時(shí)，f（x）=x²-alnx+a，f′(x)=2x-

a

x

=

2

x

(x+

a 2

)(x-

a 2

)（1≤x＜e）由此可求出答案．

解答：解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x²+2|lnx-1|
=

x2-2lnx+2  (0＜x≤e) x2+2lnx-2  (x＞e)

（2分）
當(dāng)0＜x≤e時(shí)，f′(x)=2x-

2

x

=

2x2-2

x

，
f（x）在（1，e]內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)x≥e時(shí)，f′(x)=2x+

2

x

＞0恒成立，
故f（x）在[e，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）．（6分）
（2）①當(dāng)x≥e時(shí)，f（x）=x²+alnx-a，
f′(x)=2x+

a

x

（x≥e）∵a＞0，
∴f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在[e，+∞）上增函數(shù)．
故當(dāng)x=e時(shí)，y_min=f（e）=e²．（8分）
②當(dāng)1≤x＜e時(shí)，f（x）=x²-alnx+a，
f′(x)=2x-

a

x

=

2

x

(x+

a 2

)(x-

a 2

)（1≤x＜e）
當(dāng)

a 2

≥e，即a≥2e²時(shí)，
f′（x）在x∈（1，e）進(jìn)為負(fù)數(shù)，
所以f（x）在區(qū)間[1，e]上為減函數(shù)，
故當(dāng)x=e時(shí)，y_min=f（e）=e²．（14分）
所以函數(shù)y=f（x）的最小值為
ymin=

1+a，0＜a≤2 3a 2 - a 2 ln a 2 e2，a≥2e2

，2＜a＜2e2．
由條件得

1+a≥a 0＜a≤2

此時(shí)0＜a≤2；
或

3a 2 - a 2 ln a 2 ≥a 2＜a＜2e2

，
此時(shí)2＜a≤2e；或

e2≥a a≥2e2

，此時(shí)無(wú)解．
綜上，0＜a≤2e．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．