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        1. 設(shè)a>0,函數(shù)f(x)=x2+a|lnx-1|.
          (1)當(dāng)a=1時,求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程;
          (2)當(dāng)x∈[1,+∞)時,求函數(shù)f(x)的最小值.
          分析:(1)將a=1代入,對函數(shù)f(x)進行求導(dǎo)得到切線的斜率=f'(1),切點為(1,2),從而得到切線方程.
          (2)分x≥e和x<e兩種情況討論.分別對函數(shù)f(x)進行求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負判斷出函數(shù)f(x)的單調(diào)性后可得到答案.
          解答:解(1)當(dāng)a=1時,f(x)=x2+|lnx-1|
          令x=1得f(1)=2,f'(1)=1,所以切點為(1,2),切線的斜率為1,
          所以曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為:x-y+1=0.
          (2)①當(dāng)x≥e時,f(x)=x2+alnx-a,f′(x)=2x+
          a
          x
          (x≥e)
          ∵a>0,
          ∴f(x)>0恒成立.
          ∴f(x)在[e,+∞)上增函數(shù).
          故當(dāng)x=e時,ymin=f(e)=e2
          ②當(dāng)1≤x<e時,f(x)=x2-alnx+a,
          f′(x)=2x-
          a
          x
          =
          2
          x
          (x+
          a
          2
          )(x-
          a
          2
          )
          (1≤x<e)
          (i)當(dāng)
          a
          2
          ≤1
          ,即0<a≤2時,f'(x)在x∈(1,e)時為正數(shù),
          所以f(x)在區(qū)間[1,e)上為增函數(shù).
          故當(dāng)x=1時,ymin=1+a,且此時f(1)<f(e)
          (ii)當(dāng)1<
          a
          2
          <e
          ,即2<a<2e2時,
          f'(x)在x∈(1,
          a
          2
          )
          時為負數(shù),在間x∈(
          a
          2
          ,e
          )
          時為正數(shù)
          所以f(x)在區(qū)間[1,
          a
          2
          )
          上為減函數(shù),在(
          a
          2
          ,e]
          上為增函數(shù)
          故當(dāng)x=
          a
          2
          時,ymin=
          3a
          2
          -
          a
          2
          ln
          a
          2
          ,
          且此時f(
          a
          2
          )<f(e)

          (iii)當(dāng)
          a
          2
          ≥e
          ;即a≥2e2時,
          f'(x)在x∈(1,e)時為負數(shù),
          所以f(x)在區(qū)間[1,e]上為減函數(shù),
          當(dāng)x=e時,ymin=f(e)=e2
          綜上所述,當(dāng)a≥2e2時,f(x)在x≥e時和1≤x≤e時的最小值都是e2
          所以此時f(x)的最小值為f(e)=e2;
          當(dāng)2<a<2e2時,f(x)在x≥e時的最小值為f(
          a
          2
          )=
          3a
          2
          -
          a
          2
          ln
          a
          2
          ,
          f(
          a
          2
          )<f(e)

          所以此時f(x)的最小值為f(
          a
          2
          )=
          3a
          2
          -
          a
          2
          ln
          a
          2

          當(dāng)0<a≤2時,在x≥e時最小值為e2,在1≤x<e時的最小值為f(1)=1+a,
          而f(1)<f(e),所以此時f(x)的最小值為f(1)=1+a
          所以函數(shù)y=f(x)的最小值為ymin=
          1+a,0<a≤2
          3a
          2
          -
          a
          2
          ln
          a
          2
          ,2<a≤2e2
          e2,a>2e2
          點評:本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負之間的關(guān)系.當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減.
          練習(xí)冊系列答案
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          設(shè)a>0,函數(shù)f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是單調(diào)函數(shù).則實數(shù)a的取值范圍為
          (0,3]
          (0,3]

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•安慶模擬)設(shè)a>0,函數(shù)f(x)=lnx-ax,g(x)=lnx-
          2(x-1)x+1

          (1)證明:當(dāng)x>1時,g(x)>0恒成立;
          (2)若函數(shù)f(x)無零點,求實數(shù)a的取值范圍;
          (3)若函數(shù)f(x)有兩個相異零點x1、x2,求證:x1x2>e2

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)a>0,函數(shù)f (x) 是定義在(0,+∞)的單調(diào)遞增的函數(shù)且f (
          axx-1
          )<f(2),試求x的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)a>0,函數(shù)f(x)=
          12
          x2-(a+1)x+a(1+ln x)

          (1)求曲線y=f(x)在(2,f(2))處與直線y=-x+1垂直的切線方程;
          (2)求函數(shù)f(x)的極值.

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          同步練習(xí)冊答案