Question

（2012•安慶模擬）設a＞0，函數f（x）=lnx-ax，g（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

（1）證明：當x＞1時，g（x）＞0恒成立；
（2）若函數f（x）無零點，求實數a的取值范圍；
（3）若函數f（x）有兩個相異零點x₁、x₂，求證：x₁x₂＞e²．

Answer 1

分析：（1）可轉化為證明當x＞1時，g（x）_min＞0，從而可用導數求函數g（x）的最小值．
（2）利用導數研究函數f（x）在定義域上的單調性、最值，再結合其圖象即可得出a的限制條件；
（3）不妨令x₁＞x₂＞0，用分析法對x₁x₂＞e²進行等價轉化，最后可構造函數借助（1）問結論得證．

解答：（1）證明：g′(x)=

1

x

-

4

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

，由于已知x＞1，∴g'（x）＞0恒成立∴g（x）在（1，+∞）遞增，∴g（x）＞g（1）=0
∴x＞1時，g（x）＞0恒成立．
（2）f（x）=lnx-ax的定義域是（0，+∞），f′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

，
由于a＞0，x＞0，令f′（x）＞0，解得0＜x＜

1

a

，
∴f（x）在(0，

1

a

)上遞增，在(

1

a

，+∞)上遞減．
∴f(x)≤f(

1

a

)=-lna-1，欲使函數f（x）無零點，則只要-lna-1＜0，即lna＞-1，∴a＞

1

e

．
故所求a的范圍是(

1

e

，+∞)．
（3）因為f（x）有兩個相異的零點，又由于x＞0，
故不妨令x₁＞x₂＞0，且有l(wèi)nx₁=ax₁，lnx₂=ax₂ ，∴l(xiāng)nx₁+lnx₂=a（x₁+x₂），lnx₁-lnx₂=a（x₁-x₂），
要證x1x2＞e2?ln(x1x2)＞2?lnx1+lnx2＞2?a＞

2

x1+x2

?

lnx1-lnx2

x1-x2

＞

2

x1+x2

?lnx1-lnx2＞

2(x1-x2)

x1+x2

?ln

x1

x2

＞

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

令t=

x1

x2

，則t＞1，故只要證明lnt＞

2(t-1)

t+1

，t＞1時恒成立，
而由（1）知t＞1時，lnt-

2(t-1)

t+1

＞0恒成立，即lnt＞

2(t-1)

t+1

恒成立，從而證明x1x2＞e2．
故x₁x₂＞e²．

點評：本題考查了函數的零點、應用導數研究函數的單調性、最值，對于恒成立問題往往轉化為函數最值解決．本題（3）問難度較大，需要恰當構造函數借助（1）問結論解決．