Question

如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，
，．
（1）求證：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；

Answer 1

（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，．證得，由四邊形為直角梯形，得到，證得平面．推出 ．
（2）直線與平面所成角的正弦值為．

試題分析：（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011041954540.png" style="vertical-align:middle;" />，所以            2分
因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011041392539.png" style="vertical-align:middle;" />為直角梯形，
，，
所以四邊形為正方形，所以．     4分
所以平面．   
所以 ．            6分        
（2）解法1：因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011042219511.png" style="vertical-align:middle;" />平面，且
所以BC⊥平面                          8分
則即為直線與平面所成的角               9分
設(shè)BC=a，則AB=2a，，所以
則直角三角形CBE中，          。11分
即直線與平面所成角的正弦值為．            。12分
解法2：因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011042219511.png" style="vertical-align:middle;" />平面，且 ，

所以平面，所以．
由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 因?yàn)槿�角�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011042640485.png" style="vertical-align:middle;" />為等腰直角三角形，所以，設(shè)，
則．
所以 ，平面的一個(gè)法向量為．
設(shè)直線與平面所成的角為，
所以 ，           
即直線與平面所成角的正弦值為．（參照解法1給步驟分）     12分
點(diǎn)評(píng)：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離及體積的計(jì)算。在計(jì)算問(wèn)題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，利用向量則能簡(jiǎn)化證明過(guò)程。本題給出了兩種解法，便于比較借鑒。