Question

22、設(shè)a＞0，函數(shù)f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)x₀≥1，f（x₀）≥1，且f（f（x₀））=x₀，求證：f（x₀）=x₀．

Answer 1

分析：（1）已知函數(shù)f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，故f′（x）≥0或≤0在[1，+∞）上恒成立，用分離參數(shù)求最值即可．．
（2）結(jié)合（1）中的單調(diào)性用反證法考慮．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-a
若f（x）在[1，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)，
則須y′≤0，即α≥3x²恒成立，
這樣的實數(shù)a不存在，
故f（x）在[1，+∞）上不可能是單調(diào)遞減函數(shù)；
若f（x）在[1，+∞）]上是單調(diào)遞增函數(shù)，則a≤3x²恒成立，
由于x∈[1，+∞），故3x²≥3．從而a≤3

（2）（反證法）由（1）可知f（x）在[1，+∞）上只能為單調(diào)遞增函數(shù)．
假設(shè)f（x₀）≠x₀，若1≤x₀＜F（X₀），則F（X₀）＜F（F（X₀））=X₀，矛盾； …（8分）
若1≤f（x₀）＜X₀，則F（F（X₀））＜F（X₀），即X₀＜F（X₀），矛盾，…（10分）
故只有f（x₀）=x₀成立．

點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用：已知單調(diào)性求參數(shù)范圍，及符合函數(shù)的求值問題，注意反證法的應(yīng)用．