Question

（2013•唐山一模）△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊a，b，c成等差數(shù)列，且最大角是最小角的2倍，則 cosA+cosC=

7

8

．

Answer 1

分析：由題意可得 2b=a+c，設(shè)C為最大角，則A為最小角，可得C=2A，且 0＜A＜

π

3

．再由正弦定理可得2sin3A=sinA+sin2A，
化簡(jiǎn)可得 2cosA=5-8sin²A=5-8（1-cos²A ），解得cosA 的值，即可得到cosA+cosC的值．

解答：解：△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊a，b，c成等差數(shù)列，∴2b=a+c．
設(shè)C為最大角，則A為最小角，再由最大角是最小角的2倍，可得C=2A，且 0＜A＜

π

3

．
再由正弦定理可得 2sinB=sinA+sin2A，∴2sin（π-3A）=sinA+sin2A，即2sin3A=sinA+sin2A，
2（3sinA-4sin³A）=sinA+2sinAcosA，化簡(jiǎn)可得 2cosA=5-8sin²A=5-8（1-cos²A ），
解得cosA=

3

4

，cosA=-

1

2

（舍去）．
則 cosA+cosC=cosA+cos2A=cosA+2cos²A-1=

3

4

+2×

9

16

-1=

7

8

，
故答案為

7

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，正弦定理、倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．