Question

（2013•唐山一模）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，側面PAD丄底面ABCD，∠APD=

π

2

．
（I ）求證：平面PAB丄平面PCD；
（II）如果AB=BC，PB=PC，求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（I）利用ABCD的底面是矩形，可得CD⊥AD，再利用面面垂直的性質及側面PAD⊥底面ABCD，可得CD⊥PA．由已知可得PA⊥PD，進而得到PA⊥平面PCD．利用面面平行的判定定理即可證明平面PAB⊥平面PCD．
（II）如圖，以AB為x軸，AD為y軸建立空間直角坐標系A-xyz．利用兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角的余弦值．

解答：（Ⅰ）證明：因為四棱錐P-ABCD的底面是矩形，所以CD⊥AD，
又側面PAD⊥底面ABCD，所以CD⊥PA．
又∠APD=

π

2

，即PA⊥PD，而CD∩PD=D，所以PA⊥平面PCD．
因為PA?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD．
（Ⅱ）解：如圖，以AB為x軸，AD為y軸建立空間直角坐標系A-xyz．
設AB=2，P（0，a，b）（a＞0，b＞0），
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）．
由PA⊥PD，

PA

=（0，-a，-b），

PD

=（0，2-a，-b），
得-a（2-a）+b²=0．①
因為PB=PC，所以2²+a²+b²=2²+（2-a）²+b²．②
由①，②得a=1，b=1．
由（Ⅰ）知，

PA

=（0，-1，-1）是面PCD的一個法向量．
設面PBC的一個法向量為

n

=（x，y，z），則

n

•

PB

=0，

n

•

BC

=0，
又

PB

=（2，-1，-1），

BC

=（0，2，0），
所以

2x-y-z=0 2y=0

取

n

=（1，0，2）．
因為cos?＜

PA

，

n

＞?=-

10

5

，又二面角B-PC-D為鈍角，
所以二面角B-PC-D的余弦值-

10

5

．

點評：本題綜合考查了線面垂直的判定與性質定理、面面垂直的判定與性質定理、通過建立空間直角坐標系利用平面的法向量求二面角的余弦值等基礎知識與基本技能，考查了空間想象能力、推理能力和計算能力．