Question

【題目】已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切，過點(diǎn)且不垂直于軸直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)。

（1）求橢圓的方程；

（2）若點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)，證明：直線與軸相交于定點(diǎn)。

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析

【解析】

（1）由離心率，得到，進(jìn)而求得，即可求解；

（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系和韋達(dá)定理，求得，再由、兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，得到直線的方程，代入求得的表達(dá)式，代入即可求解．

（1）由題意知，離心率，所以，即

又，所以，，

所以橢圓的方程為．

（2）由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，

由得：，

設(shè)，，則，， ①

因?yàn)?/span>、兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，所以，

直線的方程為，令得：，

又由，，所以

由將①代入得，所以直線與軸交于定點(diǎn)．