Question

【題目】已知拋物線和：，過(guò)拋物線上的一點(diǎn)，作的兩條切線，與軸分別相交于，兩點(diǎn).

（Ⅰ）若切線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，求直線斜率；

（Ⅱ）求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)切線的方程為：.利用圓心到直線的距離等于半徑解方程可得，結(jié)合圖形可知直線斜率.

（Ⅱ）設(shè)切線方程為，由點(diǎn)在直線上，則，直線與圓相切，則，據(jù)此可得，則，，而，.令，則，故，的最小值為.

試題解析：

（Ⅰ）拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)切線的斜率為，

則切線的方程為：，即.

∴，解得：.

∵，∴.

（Ⅱ）設(shè)切線方程為，由點(diǎn)在直線上得：①

圓心到切線的距離，整理得：②

將①代入②得：③

設(shè)方程的兩個(gè)根分別為，，由韋達(dá)定理得：，，

從而 ，

.

記函數(shù)，則，

，的最小值為，當(dāng)取得等號(hào).