【題目】設(shè)圓
的圓心為
，直線
過點
且與
軸不重合，直線交圓于
，
兩點，過點
作
的平行線交
于點
.
（1）證明
為定值，并寫出點的軌跡方程；
（2）設(shè)點的軌跡為曲線
，直線交于
，
兩點，過點且與直線垂直的直線與圓交于
，
兩點，求四邊形
面積的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析，
（2）
【解析】
（1）由
，
，故
，所以
，得到
，化簡得
，利用橢圓的定義，即可求解；
（2）設(shè)
的方程為
，聯(lián)立方程組
，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合弦長公式和三角形的面積公式，即可求解．
（1）因為，，故，
所以，故，
又圓
的標準方程為
，
從而
，所以，
由題設(shè)得
，
，
，
由橢圓定義可得點
的軌跡方程為.
（2）當與
軸不垂直時，設(shè)的方程為，
，
，
由得
，
則
，
，
所以
，
過點
且與垂直的直線
，到
的距離為
，
所以
，
故四邊形
的面積
，
可得當與軸不垂直時，四邊形面積的取值范圍為，
當與軸垂直時，其方程為
，
，四邊形的面積為
，
綜上，四邊形面積的取值范圍為.
閱讀快車系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
為菱形， 
平面
， 
， 
， 
， 
分別是
， 
的中點.
（1）證明： 
；
（2）設(shè)
為線段
上的動點，若線段
長的最小值為
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】試題分析：（1）證明線線垂直則需證明線面垂直，根據(jù)題意易得
，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得
，又
，因此
得
平面
，從而得證（2）先找到EH什么時候最短，顯然當線段
長的最小時， 
，在
中， 
， 
， 
，∴
，由
中， 
， 
，∴
.然后建立空間直角坐標系，寫出兩個面法向量再根據(jù)向量的夾角公式即可得余弦值
解析：（1）證明：∵四邊形
為菱形， 
，
∴
為正三角形.又
為
的中點，∴
.
又
，因此
.
∵
平面
， 
平面
，∴
.
而
平面
， 
平面
且
，
∴
平面
.又
平面
，∴
.
（2）如圖， 
為
上任意一點，連接
， 
.
當線段
長的最小時， 
，由（1）知
，
∴
平面
， 
平面
，故
.
在
中， 
， 
， 
，
∴
，
由
中， 
， 
，∴
.
由（1）知
， 
， 
兩兩垂直，以
為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，又
， 
分別是
， 
的中點，
可得
， 
， 
， 
，
， 
， 
，
所以
， 
.
設(shè)平面
的一法向量為
，
則
因此
，
取
，則
，
因為
， 
， 
，所以
平面
，
故
為平面
的一法向量.又
，
所以
.
易得二面角
為銳角，故所求二面角的余弦值為
.
【題型】解答題
【結(jié)束】
20
【題目】【2018湖北七市（州）教研協(xié)作體3月高三聯(lián)考】已知橢圓
： 
的左頂點為
，上頂點為
，直線
與直線
垂直，垂足為
點，且點
是線段
的中點．
（I）求橢圓
的方程；
（II）如圖，若直線
： 
與橢圓
交于
， 
兩點，點
在橢圓
上，且四邊形
為平行四邊形，求證：四邊形
的面積
為定值．
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知圓
，點P是直線
上的一動點，過點P作圓M的切線PA，PB，切點為A，B．
（1）當切線PA的長度為
時，求點P的坐標；
（2）若
的外接圓為圓N，試問：當P運動時，圓N是否過定點？若存在，求出所有的定點的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）求線段AB長度的最小值．
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線
相切，過點
且不垂直于
軸直線
與橢圓
相交于
、
兩點。
（1）求橢圓的方程；
（2）若點關(guān)于軸的對稱點是點
，證明：直線
與軸相交于定點。
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知數(shù)列
滿足
,
.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的前
項和
；
（3）設(shè)數(shù)列
滿足
,其中
.記的前項和為
.是否存在正整數(shù)
,使得
成立？若存在,請求出所有滿足條件的；若不存在,請說明理由.
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
中，底面
是邊長為2的正方形，
，且
，
為
中點.
（Ⅰ）求證：
平面；
（Ⅱ）求二面角
的大小；
（Ⅲ）在線段
上是否存在點
，使得點到平
面
的距離為
？若存在，確定點的位置；
若不存在，請說明理由.
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】根據(jù)某鎮(zhèn)家庭抽樣調(diào)查的統(tǒng)計,2003年每戶家庭平均消費支出總額為1萬元,其中食品消費額為0.6萬元.預(yù)測2003年后,每戶家庭平均消費支出總額每年增加3000元,如果到2005年該鎮(zhèn)居民生活狀況能達到小康水平(即恩格爾系數(shù)n滿足
),則這個鎮(zhèn)每戶食品消費額平均每年的增長率至多是多少(精確到0.1%)?
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知集合M是具有下列性質(zhì)的函數(shù)
的全體:存在實數(shù)對
,使得
對定義域內(nèi)任意實數(shù)x都成立.
（1）判斷函數(shù)
,
是否屬于集合
;
（2）若函數(shù)
具有反函數(shù)
,是否存在相同的實數(shù)對,使得與同時屬于集合
若存在,求出相應(yīng)的
;若不存在,說明理由;
（3）若定義域為
的函數(shù)屬于集合,且存在滿足有序?qū)崝?shù)對
和
;當
時,的值域為
,求當
時函數(shù)的值域.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com
