數(shù)列
的前
項和為
，且
是和
的等差中項，等差數(shù)列
滿足
，
.
（1）求數(shù)列、的通項公式；
（2）設
，數(shù)列
的前項和為
，證明：
.
（1）
，
；（2）證明見解析．
解析試題分析：（1）由題中所給條件得
，即
，這是前
項和
與項
的關(guān)系，我們可以利用
把此式轉(zhuǎn)化為數(shù)列的項的遞推式
，從而知數(shù)列
是等比數(shù)列，通項易得，這樣等差數(shù)列的
，
，由基本量法可求得等差數(shù)列
的通項公式；（2）數(shù)列
是由等差數(shù)列相鄰兩項相乘后取倒數(shù)所得，其前項和應該用裂項相消法求得，而當求得
后，所要證的不等式就顯而易見成立了.
（1）∵是和的等差中項，∴
當
時，
，∴
當
時，
，∴
，即
∴數(shù)列是以為首項，
為公比的等比數(shù)列，∴
，
設的公差為
，
，
，∴
∴
6分
（2）
∴
∵
,∴
12分
考點：（1）已知數(shù)列前項和與項的關(guān)系，求通項公式，等差數(shù)列、等比數(shù)列通項公式；（2）裂項相消法求和與不等式。
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小學生10分鐘應用題系列答案
目標測試系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知各項均不相等的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝15，且a3＋1為a1＋1和a7＋1的等比中項．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式與前n項和Sn；
(2)設Tn為數(shù)列{
}的前n項和，問是否存在常數(shù)m，使Tn＝m[
＋
]，若存在，求m的值；若不存在，說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
在無窮數(shù)列
中，
，對于任意
，都有
，
. 設
， 記使得
成立的
的最大值為
.
（1）設數(shù)列
為1，3，5，7，
，寫出
，
，
的值；
（2）若為等比數(shù)列，且
，求
的值；
（3）若
為等差數(shù)列，求出所有可能的數(shù)列.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
將數(shù)列
按如圖所示的規(guī)律排成一個三角形數(shù)表，并同時滿足以下兩個條件：①各行的第一
個數(shù)
構(gòu)成公差為
的等差數(shù)列；②從第二行起，每行各數(shù)按從左到右的順序都構(gòu)成公比為
的等比數(shù)列.若
，
，
.
（1）求
的值；
（2）求第
行各數(shù)的和
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
給定正整數(shù)
，若項數(shù)為
的數(shù)列
滿足：對任意的
，均有
（其中
），則稱數(shù)列為“Γ數(shù)列”．
（1）判斷數(shù)列
和
是否是“Γ數(shù)列”，并說明理由；
（2）若為“Γ數(shù)列”，求證：
對恒成立；
（3）設
是公差為
的無窮項等差數(shù)列，若對任意的正整數(shù)
，
均構(gòu)成“Γ數(shù)列”，求的公差．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列
中，
．
（1）求公比
；
（2）若
分別為等差數(shù)列
的第3項和第5項，求數(shù)列的通項公式．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知
是各項為不同的正數(shù)的等差數(shù)列，
成等差數(shù)列，又
．
（1）證明：
為等比數(shù)列；
（2）如果數(shù)列前3項的和為
，求數(shù)列的首項和公差；
（3）在（2）小題的前題下，令
為數(shù)列
的前
項和，求．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
設數(shù)列
的前
項和為
,
已知
,
,
,
是數(shù)列
的前項和.
(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求;
(3)求滿足
的最大正整數(shù)的值.
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， 數(shù)列
滿足
．
，若
對一切
成立，求最小正整數(shù)m．