Question

【題目】已知常數(shù)a＞0，函數(shù)f（x）=ln（1+ax）﹣ ．
（Ⅰ）討論f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性；
（Ⅱ）若f（x）存在兩個極值點(diǎn)x1 ， x2 ， 且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（1+ax）﹣ ． ∴f′（x）= = ，
∵（1+ax）（x+2）2＞0，∴當(dāng)1﹣a≤0時，即a≥1時，f′（x）≥0恒成立，則函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
當(dāng)0＜a≤1時，由f′（x）=0得x=± ，則函數(shù)f（x）在（0， ）單調(diào)遞減，在（ ，+∞）單調(diào)遞增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)a≥1時，f′（x）≥0，此時f（x）不存在極值點(diǎn)．
因此要使f（x）存在兩個極值點(diǎn)x1 ， x2 ， 則必有0＜a＜1，又f（x）的極值點(diǎn)值可能是x1= ，x2=﹣ ，
且由f（x）的定義域可知x＞﹣ 且x≠﹣2，
∴﹣ ＞﹣ 且﹣ ≠﹣2，解得a≠ ，則x1 ， x2分別為函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，
∴f（x1）+f（x2）=ln[1+ax1]﹣ +ln（1+ax2）﹣ =ln[1+a（x1+x2）+a2x1x2]﹣
=ln（2a﹣1）2﹣ =ln（2a﹣1）2+ ﹣2．
令2a﹣1=x，由0＜a＜1且a≠ 得，
當(dāng)0＜a＜ 時，﹣1＜x＜0；當(dāng) ＜a＜1時，0＜x＜1．
令g（x）=lnx2+ ﹣2．
（i）當(dāng)﹣1＜x＜0時，g（x）=2ln（﹣x）+ ﹣2，∴g′（x）= ﹣ = ＜0，
故g（x）在（﹣1，0）上單調(diào)遞減，g（x）＜g（﹣1）=﹣4＜0，
∴當(dāng)0＜a＜ 時，f（x1）+f（x2）＜0；
（ii）當(dāng)0＜x＜1．g（x）=2lnx+ ﹣2，g′（x）= ﹣ = ＜0，
故g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，g（x）＞g（1）=0，
∴當(dāng) ＜a＜1時，f（x1）+f（x2）＞0；
綜上所述，a的取值范圍是（ ，1）
【解析】（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，注意對a分類討論；（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值，注意a的討論及利用換元法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題解決．
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況．