Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的各項都是正數(shù)，且對任意n∈N*都有a13+a23+a33+…+an3=Sn2 ， 其中Sn為數(shù)列{an}的前n和．
（1）求證：an2=2Sn﹣an；
（2）求數(shù)列{an}的通項公式
（3）設(shè)bn=3n+（﹣1）n﹣1λ2 （λ為非零整數(shù)，n∈N*）試確定λ的值，使得對任意n∈N*，都有bn+1＞bn成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：（1）證明：由已知得，當(dāng)n=1時，

∴a1＞0，∴a1=1

當(dāng)n≥2時，a13+a23+a33+…+an3=Sn2，…①

a13+a23+a33+…+an﹣13=Sn﹣12，…②

①﹣②得 =an（sn+sn﹣1）

∵an＞0，∴

又∵sn﹣1=sn﹣an，∴an2=2Sn﹣an；

當(dāng)n=1時，a1=1適合上式．

綜上，an2=2Sn﹣an

（2）解：由（1）得an2=2Sn﹣an…③

當(dāng)n≥2時，an﹣12=2Sn﹣1﹣an﹣1…④

③﹣④得 =2（sn﹣sn﹣1）﹣an+an﹣1=an+an﹣1

∵an＞0，∴an﹣an﹣1=1

∴數(shù)列{an}是以1為首項，公差為1的等差數(shù)列．

∴an=n；

（3）解：∵an=n，∴bn=3n+（﹣1）n﹣1λ2 =3n+（﹣1）n﹣1λ2n．

要使bn+1＞bn成立．即 ﹣（﹣1）n﹣1λ2n

=23n﹣3λ（﹣1）n﹣12n＞0成立．

可得（﹣1）n﹣1λ 恒成立．

①當(dāng)n為奇數(shù)時， ，即

②當(dāng)n為偶數(shù)時， ，∴ ．

∴ ，且λ為非零整數(shù)，∴λ=﹣1．

【解析】(1）當(dāng)n=1時可得a1的值，當(dāng)n時，利用an=Sn-可得an2=2Sn﹣an；（2）當(dāng)n時，利用an=Sn-和平方差公式可得數(shù)列{an}是等差數(shù)列，進而可得數(shù)列{an}的通項公式；（3）先由題意可得（﹣1）n﹣1λ < ( ) n 1 恒成立，再對n分奇數(shù)和偶數(shù)討論，可得λ的值．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用數(shù)列的通項公式的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式．