Question

【題目】已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的動直線與雙曲線相交于兩點(diǎn).在軸上是否存在定點(diǎn)，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】存在，．

【解析】

假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)，當(dāng)不與軸垂直時，設(shè)出直線的方程，然后與雙曲線方程聯(lián)立消去得到關(guān)于的一元二次方程，進(jìn)而可得到兩根之和與兩根之積，表示出向量并將所求的兩根之和與兩根之積代入整理即可求出的坐標(biāo)；當(dāng)與軸垂直時可直接得到，的坐標(biāo)，再由，可確定答案．

解：由條件知，

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)，

當(dāng)不與軸垂直時，設(shè)直線的方程是，

代入，得，

，

∴

，

∵是與無關(guān)的常數(shù)，

∴，即，此時；

當(dāng)與軸垂直時，點(diǎn)的坐標(biāo)可分別設(shè)為，

此時；

故在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)．