Question

【題目】如圖所示，傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn).

（1）求拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)及準(zhǔn)線的方程；

（2）若為銳角，作線段的垂直平分線交軸于點(diǎn).證明為定值，并求此定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；定值為8

【解析】

（1）根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程得，從而易得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.直線的斜率為，則直線方程為，代入拋物線方程整理后可和，這樣可得中點(diǎn)的坐標(biāo)，由直線與垂直可得的方程，在此方程中令得，計算化簡得定值．

解（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，從而.

因此焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），又準(zhǔn)線方程的一般式為.

從而所求準(zhǔn)線的方程為.

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.直線的斜率為，則直線方程為.將此式代入，得.

故.

記直線與的交點(diǎn)為，則，.

故直線的方程為.

令，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，故

.

從而為定值.