Question

已知橢圓C:=1(a＞b＞0)過點(1,),且離心率e=.

(1)求橢圓方程；

(2)若直線l:y=kx+m(k≠0)與橢圓交于不同的兩點M、N，且線段MN的垂直平分線過定點G(,0),求k的取值范圍.

Answer 1

解:(1)由題意橢圓的離心率e=.∴=.∴a=2c.∴b²=a²-c²=3c².

∴橢圓方程為=1.

又點(1,)在橢圓上,∴+=1.∴c²=1.∴橢圓的方程為+=1.

(2)設M(x₁,y₁),N(x₂,y₂).由消去y并整理得(3+4k²)x²+8kmx+4m²-12=0.

∵直線y=kx+m與橢圓有兩個交點,Δ=(8km)²-4(3+4k²)(4m²-12)＞0,即m²＜4k²+3.

又x₁+x₂=,∴MN中點P的坐標為(,).

設MN的垂直平分線l′方程:y=(x),∵P在l′上,∴=(),

即4k²+8km+3=0.∴m=(4k²+3).

將上式代入得＜4k²+3,∴k²＞,即k＞或k＜.

∴k的取值范圍為(-∞,)∪(,+∞).