Question

【題目】如圖所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點D在邊BC上，AD⊥C1D．
（1）求證：平面ADC1⊥平面BCC1B1；
（2）如果點E是B1C1的中點，求證：AE∥平面ADC1 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點D在邊BC上，AD⊥C1D，

∴CC1⊥平面ABC，又AD平面ABC，∴AD⊥CC1，

又C1D∩CC1=C1，∴AD⊥平面BCC1B1．

AD面ADC1，∴平面ADC1⊥平面BCC1B1

（2）解：∵AD⊥平面BCC1B1，∴AD⊥BC，

∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=AC，∴D是BC中點，

連結ED，∵點E是C1B1的中點，

∴AA1∥DE且AA1=DE，∴四邊形AA1DE是平行四邊形，

∴A1E∥AD，

又A1E面ADC1，AD平面ADC1．

∴A1E∥平面ADC1．

【解析】（1）推導出AD⊥C1D，從而CC1⊥平面ABC，進而AD⊥CC1，由此能證明AD⊥平面BCC1B1．即平面ADC1⊥平面BCC1B1（2）由AD⊥BC，得D是BC中點，連結ED，得四邊形AA1DE是平行四邊形，由此能證明A1E∥平面ADC1．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．