Question

（本小題滿分14分）
如圖所示，四棱錐中，底面為正方形，平面，，，，分別為、、的中點(diǎn)．

（1）求證：；
（2）求平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

（1）要證 ，只需證，只需證 平面； （2）。

試題分析：（1）∵平面，平面，
∴   又為正方形，∴．又，…………3分
∴平面 ∵平面，∴． ………………………………5分
∵中，中位線，∴     ……………6分
（2）記AD中點(diǎn)為H，連結(jié)FH、HG，易知GH//DC，，    
又中EF//DC，∴EF//GH所以E、F、H、G四點(diǎn)共面……7分
∴平面EFG與平面ABCD交于GH，所求銳二面角為F-GH-D.……………8分
由（1）平面，EF//DC//GH∴平面
即平面FHD，平面FHD，
所以FH，DH，
∴二面角F-GH-D的平面角是  ……………………11分
FH是等腰直角的中位線，=  …………………………13分
∴所求銳二面角的余弦值為．………………14分
證法2：DA、DC、DP兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系…1分

則，， ，，G(1,2,0)，       ………3分
（1）， ………………4分
∵ ∴……6分
∴      ………………………………………7分
（2）∵平面，
∴是平面的一個(gè)法向量．………9分
設(shè)平面EFG的法向量為，∵
令,得是平面的一個(gè)法向量. …………11分
∵        …………………………13分
∴所求銳二面角的余弦值為．                ……………………………14分
點(diǎn)評(píng)：二面角的求法是立體幾何中的一個(gè)難點(diǎn)。我們解決此類問(wèn)題常用的方法有兩種：①綜合法，綜合法的一般步驟是：一作二說(shuō)三求。②向量法，運(yùn)用向量法求二面角應(yīng)注意的是計(jì)算。很多同學(xué)都會(huì)應(yīng)用向量法求二面角，但結(jié)果往往求不對(duì)，出現(xiàn)的問(wèn)題就是計(jì)算錯(cuò)誤。