Question

【題目】如果既約分數(shù)滿足：（、為正整數(shù)），則稱為“牛分數(shù)”．現(xiàn)將所有的牛分數(shù)按遞增順序排成一個數(shù)列，稱為“牛數(shù)列”．證明：對于牛數(shù)列中的任兩個相鄰項、，都滿足．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

對任一正整數(shù)，將牛數(shù)列中分母不大于的子數(shù)列記為．

當時，數(shù)列顯然滿足條件．

對進行歸納．

據(jù)數(shù)列知，當時結(jié)論成立．

設(shè)結(jié)論對于成立，考慮數(shù)列．

注意到，而中的分數(shù)滿足：分母，．

設(shè)、是中的一對相鄰分數(shù)．

如果它們在中也相鄰，則顯然滿足條件；

如果它們在中不相鄰，即有中的分數(shù)插入它們之間（，），即（插入的分數(shù)中總有一個與或相鄰，不妨設(shè)與相鄰）．

于是，． ①

所以，．

又易知，分數(shù)也介于與之間（這是由于，）．

注意到，知與互質(zhì)，即為既約分數(shù)．

若，由及，相乘得．

由，得．

又，且、在中相鄰，則，且式①中等號成立．

故．

從而，，這與矛盾．

因此，．

若分數(shù)，則． ②

若、、是中的相鄰項，那么，對于前一對分數(shù)而言有；

而對于后一對分數(shù)而言有．

因此，插入后的分數(shù)列符合條件．

又由式②知，式①等號成立．于是，以及．

由，得． ③

因此，．

又是中能夠插入中的一對相鄰分數(shù)、之間的唯一分數(shù)，即在由數(shù)列過渡到數(shù)列時，不論相鄰分數(shù)間是否插入了新的分數(shù)，所得數(shù)列都滿足條件．

因此，對于每個正整數(shù)，結(jié)論成立．特別是數(shù)列滿足條件，故本題得證．