Question

一同學(xué)為研究函數(shù)f（x）=

1+x2

+

1+(1-x)2

（0≤x≤1）的性質(zhì)，構(gòu)造了如圖所示的兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD和BEFC，點(diǎn)P是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)CP=x，則AP+PF=f（x），請(qǐng)你參考這些信息，推知函數(shù)g（x）=4f（x）-9的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：把函數(shù)f（x）=

1+x2

+

1+(1-x)2

看作是圖中的AP+PF，通過(guò)分析點(diǎn)P的特殊位置得到AP+PF的范圍，而函數(shù)g（x）=4f（x）-9的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是方程f（x）=

9

4

的解的個(gè)數(shù)，由

9

4

大于AP+PF的最小值且小于AP+PF的最大值可知f（x）=

9

4

的解有2個(gè)，則答案可求．

解答： 解：由題意可得：
函數(shù)f（x）=

1+x2

+

1+(1-x)2

=AP+PF，
當(dāng)A、P、F共線(xiàn)時(shí)，f（x）取得最小值為

5

＜

9

4

，
當(dāng)P與B或C重合時(shí)，f（x）取得最大值為

2

+1＞

9

4

．
g（x）=4f（x）-9=0，即f（x）=

9

4

．
故函數(shù)g（x）=4f（x）-9的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是f（x）=

9

4

的解的個(gè)數(shù)．
而由題意可得f（x）=

9

4

的解有2個(gè)，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答此題的關(guān)鍵是正確理解題意，是中檔題．