Question

（本題滿分12分）
如圖，在四棱錐S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，
∠BAD=∠ABC=90°，SA=AB=AD=，E為SD的中點(diǎn)。
(1)若F為底面BC邊上的一點(diǎn)，且BF=，求證：EF∥平面SAB；
(2)底面BC邊上是否存在一點(diǎn)G，使得二面角S-DG-A的正切值為？
若存在，求出G點(diǎn)位置；若不存在，說明理由。

Answer 1

（1）略
（2）存在點(diǎn)G與B重合或BG=滿足題設(shè)。

解：方法一：(1)取SA的中點(diǎn)H，連結(jié)EH，BH。由HE∥AD，BF∥AD，且HE=。∴EF∥BH，BF=HE，∴四邊形EFBH為平行四邊形�！郋F∥BH，BH∴EF∥平面SAB�！�……6分
(2)假設(shè)存在點(diǎn)G，滿足題設(shè)條件，過A作AI⊥DG于I，由三垂線定理得SI⊥DG，并設(shè)二面角S-DG-A的大小為α.則tanα=，∴AI=，又AD=1，故∠ADG=45°或∠ADG=135°，若∠ADG=45°，則G與B點(diǎn)重合；若∠ADG=135°，則BG=AD+AB=2，故存在點(diǎn)G與B重合或BG=滿足題設(shè)�！�……12分
方法二：以A點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，設(shè)存在G點(diǎn)，G(x，1,0)，，，設(shè)，為平面AGD的法向量，=(0,0,1)，∵tanθ=，∴cosθ=，又∵cosθ=，∴x=0或2，故存在點(diǎn)G與B重合或BG=BC，滿足題設(shè)�！�……12分