Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）若函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；并證明：當時，；

（3）證明：當時，函數(shù)有最小值，設最小值為，求函數(shù)的值域．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的單調(diào)遞增區(qū)間為，；證明見解析；（3）證明見解析；.

【解析】

（1）由導數(shù)的幾何意義可得切線斜率為1，利用點斜式即可得解；

（2）由題意，求導后可得，即可得的單調(diào)區(qū)間；由時，即，即可得證；

（3）求出函數(shù)的導數(shù)，令，由（2）知的單調(diào)性，可得存在唯一實數(shù)使得，則，令，求導后即可得解.

（1），，，

故所求直線方程為即；

（2）由題意，

則，

的單調(diào)遞增區(qū)間為，；

當時，即，

由可得即，

，得證.

（3）由題意，

則，

設，

由（2）知，在上單調(diào)遞增，

又，，存在唯一實數(shù)使得，

當時，，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當時，，，函數(shù)單調(diào)遞增；

在上有最小值即，

又即，

，

令，

則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

即，

函數(shù)的值域為.