Question

【題目】已知向量，函數(shù)，

.

（1）當(dāng)時，求的值；

（2）若的最小值為，求實(shí)數(shù)的值；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)，有四個不同的零點(diǎn)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在實(shí)數(shù)m滿足條件，且其范圍為。

【解析】

（1）首先由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得函數(shù)的解析式，然后求解時的值即可；

（2）由題意可得2cos2x﹣2mcosx，換元后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論求解實(shí)數(shù)的值即可；

（3）令求解的值，據(jù)此求得關(guān)于的不等式，求解不等式可得實(shí)數(shù)m的取值范圍是．

（1）=（cos，sin）（cos，﹣sin）

=coscos﹣sinsin=cos（+）=cos2x，

當(dāng)m=0時，f（x）=+1=cos2x+1，

則f（）=cos（2×）+1=cos+1=；

（2）∵x∈[﹣，]，

∴|+|===2cosx，

則f（x）=﹣m|+|+1=cos2x﹣2mcosx+1=2cos2x﹣2mcosx，

令t=cosx，則≤t≤1， 則y=2t2﹣2mt，對稱軸t=，

①當(dāng)＜，即m＜1時，

當(dāng)t=時，函數(shù)取得最小值此時最小值y=﹣m=﹣1，得m=（舍），

②當(dāng)≤≤1，即m＜1時，

當(dāng)t=時，函數(shù)取得最小值此時最小值y=﹣=﹣1，得m=，

③當(dāng)＞1，即m＞2時，

當(dāng)t=1時，函數(shù)取得最小值此時最小值y=2﹣2m=﹣1，得m=（舍），

綜上若f（x）的最小值為﹣1，則實(shí)數(shù)．

（3）令g（x）=2cos2x﹣2mcosx+m2=0，得cosx=或cosx=，

∴方程cosx=或在x∈[﹣，]上有四個不同的實(shí)根，

則，得，則≤m＜，

即實(shí)數(shù)m的取值范圍是．