Question

【題目】如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1= ，∠BAD=120°．
（Ⅰ）求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．

Answer 1

【答案】解：在平面ABCD內(nèi)，過A作Ax⊥AD，
∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax平面ABCD，
∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以Ax、AD、AA1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
∵AB=AD=2，AA1= ，∠BAD=120°，
∴A（0，0，0），B（ ），C（ ，1，0），
D（0，2，0），
A1（0，0， ），C1（ ）．
=（ ）， =（ ）， ， ．
（Ⅰ）∵cos＜ ＞= = ．
∴異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為 ；
（Ⅱ）設(shè)平面BA1D的一個(gè)法向量為 ，
由 ，得 ，取x= ，得 ；
取平面A1AD的一個(gè)法向量為 ．
∴cos＜ ＞= = ．
∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值為 ，則二面角B﹣A1D﹣A的正弦值為 ．

【解析】在平面ABCD內(nèi)，過A作Ax⊥AD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以Ax、AD、AA1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．結(jié)合已知求出A，B，C，D，A1 ， C1 的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出 ， ， ， 的坐標(biāo)．
（Ⅰ）直接利用兩法向量所成角的余弦值可得異面直線A1B與AC1所成角的余弦值；
（Ⅱ）求出平面BA1D與平面A1AD的一個(gè)法向量，再由兩法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值，進(jìn)一步得到正弦值．