Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，試判斷函數(shù)的極值情況，并說明理由；

（2）若有兩個極值點，.

①求實數(shù)的取值范圍；

②證明：.注：是自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)無極值；（2）①；②證明見詳解

【解析】

（1）把代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，把導(dǎo)函數(shù)二次求導(dǎo)，求出導(dǎo)函數(shù)的最大值，得到導(dǎo)函數(shù)的最大值小于，從而可得原函數(shù)在實數(shù)集上的減函數(shù)，進(jìn)而可判斷函數(shù)的極值情況.

（2）①把函數(shù)有兩個極值點轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)有兩個零點，該函數(shù)先減后增有極小值，然后根據(jù)圖像的交點情況得到的范圍；②由是原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的根，把代入導(dǎo)函數(shù)解析式，用表示，然后把的表達(dá)式中的替換，得到關(guān)于的函數(shù)式后再利用求導(dǎo)判斷單調(diào)性，從而得到要證的結(jié)論.

（1）當(dāng)時，，

則，

令，，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，，

函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，

，

故恒成立，所以在上為減函數(shù)，

故函數(shù)無極值.

（2）①由，

所以，

若有兩個極值點，，則，是方程的兩根，

故方程有兩個根，，

又因為顯然不是該方程的根，所以方程，有兩個根，

設(shè)，得，

若時，且，單調(diào)遞減.

若時，

當(dāng)時，，單調(diào)遞減.

當(dāng)時，，單調(diào)遞增，

要使方程有兩個根，需，

故且，

故實數(shù)的取值范圍為.

②證明：由，得，

故，

，

設(shè)，

則，在上單調(diào)遞減，

故，即.