Question

已知三點(diǎn)P（5，2）、F₁（-6，0）、F₂（6，0）
（1）求以F₁、F₂為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P、F₁、F₂關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)分別為P′、

F

′ 1

、

F

′ 2

，求以

F

′ 1

、

F

′ 2

為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P′的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析：（1）利用雙曲線的定義，求出a，再根據(jù)b=

c2-a2

，求出b，從而可得雙曲線的方程；
（2）利用橢圓的定義，求出a′，再根據(jù)b′=

a2-c2

，求出b′，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：（1）由題意，PF₁-PF₂=

(5+6)2+22

-

(5-6)2+22

=4

5

=2a，
∴a=2

5

，
∵c=6，∴b=

c2-a2

=4，
∴以F₁、F₂為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

20

-

y2

16

=1；
（2）由題意，P′（2，5）、

F

′ 1

（0，-6）、

F

′ 2

（0，6），
∴P′

F

′ 1

+P′

F

′ 2

=

22+(5+6)2

+

22+(5-6)2

=6

5

=2a′，∴a′=3

5

，
∵c′=6，∴b′=

a2-c2

=3，
∴以

F

′ 1

、

F

′ 2

為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P′的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

y2

45

+

x2

9

=1．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查雙曲線、橢圓的定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確理解雙曲線、橢圓的定義是關(guān)鍵．