Question

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為．過定點(diǎn)的直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)， （點(diǎn)在點(diǎn)， 之間）．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若射線交橢圓于點(diǎn)（為原點(diǎn)），求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意， ， 又因，得．

由，解得．即得出橢圓的方程；

（Ⅱ）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，其方程為，由，得，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其為，則直線方程為．由，可得則（1）由 得，判別式，解得，把韋達(dá)定理的式子帶入（1）得出，由即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）由橢圓的對(duì)稱性可知， ， ，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由（Ⅱ）可知，且 =，利用基本不等式可求得的最大值即可得出面積的最大值.

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意， ， 又因，得．

由，解得．故橢圓的方程為．

（Ⅱ）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，其方程為，此時(shí)， ， ， ， ，由，得．

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其為，則直線方程為．

設(shè)， ，則， ．

由，可得則 ． （1）

由 得，即．

判別式，解得．

且， ， 將其代入（1）得，

，由 ，

， 解得．又因在， 之間，所以．

綜上可得， 的取值范圍是．

（Ⅲ）由橢圓的對(duì)稱性可知， ， ．

設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由（Ⅱ）可知，

且

===

= =．

當(dāng)且僅當(dāng) ，即時(shí)取“=”，

即 ， 故面積的最大值為．