Question

【題目】設(shè)實(shí)數(shù)，橢圓的右焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k的直線交D于P、Q兩點(diǎn)，若線段PQ的中點(diǎn)為N，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線ON交直線于點(diǎn)M．

若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；

求證：；

求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）

【解析】

設(shè)，，直線PQ的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可求出，

設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為由利用根與系數(shù)的關(guān)系及其中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得N的坐標(biāo)聯(lián)立可得M的坐標(biāo)，可證明．

根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解：可得焦點(diǎn)，設(shè)，，

直線PQ的方程為：，

聯(lián)立，化為：，

點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，

，

，

解得，

．

點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為；

線段PQ的中點(diǎn)為，

由可得，，

，．

直線ON的方程為，

聯(lián)立，可得，

．

．

，

．

，

故最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，

故的最大值為．