Question

【題目】已知橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的菱形的面積為，橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若，為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，當(dāng)時(shí)，的面積是否為定值？若為定值，求出此定值；若不為定值，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）是，定值.

【解析】

（1）由題設(shè)條件，列出方程組，結(jié)合，求得的值，即可求解.

（2）設(shè)，，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式，及三角形的面積公式，求得三角形的面積；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，結(jié)合橢圓的對(duì)稱性和三角形的面積公式，即可求解.

（1）由橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的菱形的面積為，橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，

可得，，即，解得，，

故橢圓的方程為.

（2）設(shè)，，

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，

由，消可得，，

則，即，

且，，

所以

.

又由點(diǎn)到直線的距離，

所以.

又因?yàn)?/span>，

所以，

化簡(jiǎn)整理可得，滿足，

代入，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由于，

考慮到，關(guān)于軸對(duì)稱，不妨設(shè)，，

則點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，

此時(shí)，

綜上可得，的面積為定值.