Question

（ 14分）已知函數(shù)，，其中為無理數(shù)．（1）若，求證：；（2）若在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（3）對于區(qū)間（1，2）中的任意常數(shù)，是否存在使成立？
若存在，求出符合條件的一個(gè)；否則，說明理由．

Answer 1

(Ⅰ)略   (Ⅱ)   （Ⅲ）不存在

：（Ⅰ）證明：當(dāng)時(shí)，．令，則．
若，遞增；若，遞減，
則是的極（最）大值點(diǎn)．于是
，即．故當(dāng)時(shí)，有．
（Ⅱ）解：對求導(dǎo)，得．
①若，，則在上單調(diào)遞減，故合題意．
②若，．
則必須，故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增．
③若，的對稱軸，則必須，
故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減．
綜合上述，的取值范圍是．
（Ⅲ）解：令．則問題等價(jià)于
找一個(gè)使成立，故只需滿足函數(shù)的最小值即可．
因，
而，
故當(dāng)時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增．
于是，．與上述要求相矛盾，故不存在符合條件的．