Question

【題目】設點P是直線上一點，過點P分別作拋物線的兩條切線PA、PB，其中A、 B為切點.

（1）若點A的坐標為，求點P的橫坐標；

（2）直線AB是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）， （2）直線AB過定點，定點為，理由見解析.

【解析】

（1）求出切線的方程后，將的縱坐標代入可求得橫坐標；
(2)設，求出過兩點的拋物線的切線方程，將點坐標分別代入切線方程進行比較分析，可得直線直線AB是過定點，得出答案.

(1) 拋物線化為，則.

由，則過點的拋物線的切線的斜率為：.

所以直線的方程為：即：.

當時，，所以.

點P的橫坐標為

(2) 直線AB是過定點.

由題意設

則

由（1）可知，，

則切線的方程為：，即

所以切線的方程為：

切線的方程為：

又切線PA、PB交于點，設

則有，說明點滿足方程.

即點在直線上.

又，說明點滿足方程.

即點在直線上.

所以兩點都在直線上，

則直線的方程為：

又直線過定點.

所以直線AB過定點.