Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）討論函數(shù)的極值;

（2）若為整數(shù),,且,不等式成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，有極大值，無(wú)極小值；（2）2

【解析】

（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得到，分別討論與兩種情況，用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)單調(diào)性，即可求出結(jié)果；

（2）先由，將不等式化為，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為恒成立；令，，用導(dǎo)數(shù)的方法研究其單調(diào)性，求出最值，即可得出結(jié)果.

（1）因?yàn)?/span>，所以，

當(dāng)時(shí)，恒成立，因此在上單調(diào)遞減，此時(shí)無(wú)極值；

當(dāng)時(shí)，由得；由得；

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

因此有極大值；

綜上所示，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，有極大值，無(wú)極小值；

（2）當(dāng)時(shí)，，

所以不等式可化為，

因此,不等式成立，可化為恒成立；

令，，

則，

令，

則，

因?yàn)?/span>，所以，

所以在上單調(diào)遞增，

又，，

所以存在，使得，即；

所以當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；

所以，

因此只需，即的最大值為